I Frattali tra Scienza e Tecnologia

La scienza e la tecnologia oggi non ce la fanno più ad esprimere il mondo che ci circonda secondo i vecchi dettami di logiche matematiche e sempre più si sente parlare di tecniche alternative tra cui l’Intelligenza Artificiale e la Crescita Frattale. Nell’ampio mondo dei frattali convivono infatti semplici modelli estratti dal mondo reale, ma anche complessi sistemi matematici che tentano di estrapolare da questo, le leggi del caos. Molti fenomeni naturali infatti sono caotici e soprattutto casuali, che non sappiamo prevedere in quanto determinati da fattori di difficile misurazione o elaborazione. Molti andamenti spazio-temporali di campi elettromagnetici, evoluzioni di reazioni chimiche, sono solo alcuni esempi che si possono fare per comprendere l’argomento e le possibili applicazioni.
Secondo una delle prime definizioni, un frattale è un insieme infinito le cui parti sono simili al tutto. Alla base vi è il concetto di autosomiglianza, ovvero di ripetizione geometrica di una struttura attraverso trasformazioni di traslazione, rotazione e scalatura, chiamate trasformazioni affini. Un frattale infatti gode della capacità di conservare la propria struttura topologica a qualunque scala di osservazione lo si esamini, infatti anche ingrandendo il particolare di un frattale ritroveremo la stessa struttura ripetuta ricorsivamente.
Uno dei frattali più famosi è quello di Mandelbrot. In questa figura viene mostrata una particolare istanza del frattale di Mandelbrot, si tratta cioè di una foto scattata al frattale ad un determinato livello, che altrimenti ha ricorsione all’infinito, così come abbiamo spiegato in precedenza. Un frattale allora è una figura geometrica che è possibile esprimere solo con l’ausilio di un mezzo che permetta di visitarlo ad ogni livello di annidamento. Uno dei più semplici frattali è l’insieme dei triangoli di Sierpinsky.
la procedura di costruzione è semplicissima: prendete un triangolo equilatero e coloratelo di nero, disegnate al centro di esso un triangolo equilatero con il lato pari alla metà del primo e coloratelo di bianco, procedete allo stesso modo per ciascuno dei tre triangoli neri che sono apparsi e continuate all’infinito, che significa arrivare fino al livello della visione di un pixel. Oggi la sistemica considera gli insiemi frattali come un sistema chiuso autonomo ed autoalimentato, indipendente dal contesto.
Una delle caratteristiche generali che compongono la geometria frattale è l’attrattore.
Un frattale è creato dall’iterazione di una funzione generatrice, il seme, che rappresenta il poligono, il quale iterato con trasformazioni affini genera il frattale. Indipendentemente dalle condizioni iniziali, le figure frattali appartenenti ad una certa famiglia convergono tutte verso una proprietà chiamata appunto attrattore. A volte l’attrattore si intende una traiettoria a cui tende il frattale oppure, come nel caso di un fiocco di neve, la dimensione frattale. La dimensione di un frattale è una misura grazie alla quale è possibile caratterizzare fenomeni naturali per i quali non si era riusciti finora a trovare una proprietà significativa. Un frattale di una certa natura è caratterizzato anche da un parametro chiamato dimensione, che è un numero intero e che può essere attrattore dell’insieme stesso. Con la dimensione si possono, ad esempio, mettere a confronto due diverse coste frastagliate, due catene montuose oppure caratterizzare l’evoluzione di fenomeni atmosferici.
Un aspetto importante della geometria frattale è la rottura con quella euclidea, infatti il processo iterattivo genera una struttura priva delle proprietà lineari tipiche di ogni curva. Tutta la geometria a noi nota, infatti, si basa sul concetto di curve lineari, nel senso che ad ogni punto di una figura si può assegnare una retta ad essa tangente passante per quel punto. Sui frattali non è così e per questo richiedono una trattazione nuova rispetto alle teorie classiche.
Oggi i frattali si utilizzano in Astronomia, Ingegneria, Meteorologia e perfino in Economia e Medicina. In particolare è possibile studiare l’Anatomia e la Fisiologia Umana con occhi frattali: la forma interna di un polmone o una rete neurale sono frattali, ma anche il battito cardiaco, le aree di attivazione cerebrale, il meccanismo di replicazione cellulare e così via. Modelli caotici sono inoltre utilizzati per codificare informazioni segrete o comprimere immagini, come spiegato in uno dei miei articoli su questo blog.
Nel prossimo articolo dedicato ai frattali vedremo come costruire l’insieme di Julia tramite il linguaggio C e le MFC.